삼각함수 덧셈 정리

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해당 글은 삼각함수의 덧셈 정리식인, 아래 네 식에 대한 증명을 한다.
$cos (α - β) = cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β$ $cos (α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β$ $sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β$ $sin (α - β) = sin α \cdot cos β - cos α \cdot sin β$

x’은 (1, 0) 이다. 표기 오류

‘단위원’ 호 위에 점 x, y가 있다고 생각해 보자. 각 지점은 다음과 같이 정의된다. $x (cos β, sin β)$ , $y (cos α, sin α)$ . 점 x와 y를 잇는 선분 xy의 크기를 구하면 다음과 같다.

(cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2}

이제 점 x를 (1, 0)로 이동 시키고, y지점도 이동한 각도만큼 이동시킨다. 각 지점을 x’, y’으로 지정한다. $x^{'} (1, 0)$ , $y^{'} (cos (α - β), sin (α - β)$ . 마찬가지로 선분 x’y’의 크기를 구한다.

(cos (α - β) - 1)^{2} + sin^{2} (α - β)

xy와 x’y’은 서로 합동이므로, 같은 길이의 선분을 가지게 된다. 따라서 위에서 구한 두 식은 같다.

(cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2} = (cos (α - β) - 1)^{2} + sin^{2} (α - β)

해당 식의 우변을 정리하면 아래와 같다.

(cos (α - β) - 1)^{2} + 1 - cos^{2} (α - β)

= cos^{2} (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 + 1 - cos^{2} (α - β)

= - 2 cos (α - β) + 2

이제 좌변을 정리한다.

cos^{2} α - 2 (cos α \cdot cos β) + cos^{2} β + sin^{2} α - 2 (sin α \cdot sin β) + sin^{2} β

= - 2 (cos α \cdot cos β) - 2 (sin α \cdot sin β) + 2

이제 양변을 같이 정리한다.

- 2 cos (α - β) + 2 = - 2 (cos α \cdot cos β) - 2 (sin α \cdot sin β) + 2

- 2\cos(\alpha - \beta) + 2 = - 2(\cos\alpha \cdot \cos\beta) - 2(\sin\alpha \cdot \sin\beta) + 2 $$

\cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cdot \cos\beta)+(\sin\alpha \cdot \sin\beta)

이제최종등식을얻을수있다 .

\cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cdot \cos\beta)-(\sin\alpha \cdot \sin\beta)

해당식또한 cos 의 y 축에대칭하는특성과원점에대칭하는 s in 의특성을통해서쉽게구할수있다 . - - - 이제위에서구한 cos 의덧셈정리를이용해서 s in 의덧셈정리를구한다 .

\sin(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta))

[[(𝜋 ha l f 2 \pm 𝜃) 의 s in, cos]] 를이용해서해당식을구해낼수있다 .

\sin(\alpha + \beta) = \cos((\frac{\pi}{2} - \alpha)-\beta)

괄호를조금바꾸고 .

\sin(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos\beta + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin\beta

이전에구한 cos 의덧셈정리를이용해서다시정리한다 .

\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta

다시 [[(𝜋 ha l f 2 \pm 𝜃) 의 s in, cos]] 를이용해서정리하면위와같은최종식을얻을수있다 .

\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta

$-\beta$값을 $\beta$ 대신 넣어주면 위와 같은 식을 얻을 수 있다. ## 결론

\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta+\sin\alpha \cdot \sin\beta

\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta

\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta

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