유도

먼저 두 벡터를 정의해보면 아래와 같다.

a + p * b = c + q * d

그리고 해당 벡터들을 각각의 요소들로 나누게 되면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

a_{x} + p * b_{x} = c_{x} + q * d_{x}

a_{y} + p * b_{y} = c_{y} + q * d_{y}

이제 해당하는 두 식을 연립해서 p에 대한 식으로 표현할 수 있다. 유도 과정은 아래와 같다.

p = \frac{c _{x} + q d _{x} - a _{x}}{b _{x}}

q = \frac{a _{y} + p b _{y} - c _{y}}{d y}

이렇게 정리할 수 있고, 이를 p에 대한 식으로 대입하면.

p = \frac{c _{x} + \frac{a _{y} + p b _{y} - c _{y}}{d _{y}} d _{x} - a _{x}}{b _{x}}

p = \frac{c _{x} - a _{x}}{b _{x}} + \frac{a _{y} + p b _{y} - c _{y}}{b _{x} d _{y}} d_{x}

p = \frac{c _{x} - a _{x}}{b _{x}} + \frac{d _{x} a _{y} + p d _{x} b _{y} - d _{x} c _{y}}{b _{x} d _{y}}

p - \frac{p d _{x} b _{y}}{b _{x} d _{y}} = \frac{c _{x} - a _{x}}{b _{x}} + \frac{d _{x} a _{y} - d _{x} c _{y}}{b _{x} d _{y}}

p (1 - \frac{d _{x} b _{y}}{b _{x} d _{y}}) = \frac{c _{x} - a _{x}}{b _{x}} + \frac{d _{x} a _{y} - d _{x} c _{y}}{b _{x} d _{y}}

p (\frac{b _{x} d _{y}}{b _{x} d _{y}} - \frac{d _{x} b _{y}}{b _{x} d _{y}}) = \frac{c _{x} - a _{x}}{b _{x}} + \frac{d _{x} a _{y} - d _{x} c _{y}}{b _{x} d _{y}}

p = \frac{b _{x} d _{y}}{b _{x} d _{y} - d _{x} b _{y}} (\frac{c _{x} - a _{x}}{b _{x}} + \frac{d _{x} a _{y} - d _{x} c _{y}}{b _{x} d _{y}})

p = \frac{( c _{x} - a _{x} ) d y - ( c _{y} - a _{y} ) d _{x}}{b _{x} d _{y} - b _{y} d _{x}}

cross product

V \times W = V_xW_y - V_yW_x

이렇게 도출된 식을 cross product로 간단하게 표시하면 아래와 같다. # 최종식 ---

P = \frac{(c - a) \times d}{b \times d}

q = \frac{(a - c) \times b}{d \times b}

CS & C++ Notes